Квадратный трехчлен — Квадратичная функция. Квадратные уравнения — Разложение квадратного трехчлена на множители


Слайды и текст этой презентации

Слайд №1
Квадратный трехчлен.
Квадратичная функция.
Квадратные уравнения.
Разложение квадратного
трехчлена на множители.
(8 класс)

Слайд №2
Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной
Слайд №3
Содержание
Квадратный трехчлен
Квадратичная функция
Квадратные уравнения
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Слайд №4
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Слайд №5
Определение
Многочлен ax?+bx+c , где а, в, с – числа (коэффициенты), причем
а ? 0 называется квадратным трехчленом
Причем: а – старший коэффициент,
в — второй коэффициент
с – свободный член
Слайд №6
Назовите коэффициенты:
1) 2х? — 6х + 1
2) — 2х? + 8х – 5
3) 3х? + 2х
х? — 4х + 7
— х? — 8
6х? — х — 2
а =2; в = -6; с = 1
2) а =-2; в = 8; с = -5
3) а =3; в = 2; с = 0
4) а =1; в = -4; с = 7
5) а =-1; в = 0; с = -8
6) а =6; в = -1; с = -2

Слайд №7
КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ
Слайд №8
Запомним
Функция у = ax?+bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а ?0 называется квадратичной.
Графиком квадратичной функции является парабола
Слайд №9
Ветви параболы у = ax?+bx+c направлены вверх, если а > 0, и вниз если а < 0
Как найти координаты вершины параболы?
– абсцисса х? вершины параболы вычисляется по
формуле х? = — в/2а
— ордината у? вершины параболы
вычисляется подстановкой найденной х?
в заданную функцию
Осью симметрии параболы является прямая
х = — в/2а

Запомним
Слайд №10
Найти координаты вершины параболы, её ось симметрии и построить её:
у = 2х? — 8х + 1
у = — 2х? +16х – 5

Т.к. а =2 ; в =-8; с =1
то х? = 8 : (2·2)=2
у?= 2·2? — 8·2 + 1=-7
Значит: (2; -7) координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2
2) Т.к. а=-2; в=16; с=-5
то х? = -16 : (2·(-2)) = 4
у? = -2· 4? + 16·4 — 5 = 27
Значит: (4; 27) координаты вершины; ось симметрии: х=4

Слайд №11
Самостоятельно: вычислить координаты вершины параболы
1) у = х? + 4х + 5
2) у = 2х? + 4х
3) у = -3х? + 6х + 1
4) у = 3х? — 12х
5) у = х? + 6х — 2
6) у = -2х? + 8х — 5
7) у = -4х? — 8х
Проверим:
1) (-2; 1)
2) (-1; -2)
3) (1; 4)
4) (2; — 12)
5) (-3; — 11)
6) (2; 3)
7) (-1; 4)
Слайд №12
Рефлексия:
1) Сегодня на уроке я запомнил…
2) Сегодня на уроке я научился…
3) Сегодня на уроке я узнал …
4) Сегодня на уроке я выучил…
5) Сегодня на уроке было интересно …
6) Сегодня на уроке мне понравилось …
Слайд №13
Квадратные уравнения
Слайд №14
Содержание:
Определение квадратного уравнения
Классификация квадратных уравнений
Способы решения квадратного уравнения
Слайд №15
Определение
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax?+bx+c=0,
где x — переменная,
a, b, c – любые действительные числа, причем a?0. (Почему?)
Причем: а – старший коэффициент
в — второй коэффициент
с – свободный член
Слайд №16
Классификация .
Квадратные уравнения.

неполное полное
b = 0; x? + c = 0 ах? + b х + с = 0, а?0
c = 0; ax? + bx = 0
b = 0; c = 0; ax? = 0 приведённое
x? + p x + q = 0, а=1

Слайд №17
Запомним
Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D >0),
либо 1 корень (если D = 0),
либо вообще не иметь корней (если D <0)
Слайд №18
Способы решения квадратного уравнения:
Разложением на множители
Выделением полного квадрата
По формуле корней (универсальный способ)
По теореме Виета
По коэффициентам
Графический
Введение новой переменной
Слайд №19
Разложение левой части на множители
Слайд №20

Например:
Выделение полного квадрата

Слайд №21
Рассмотрим ещё одно решение:
Решим уравнение: х? + 6х — 7 = 0.
Решение: х? + 6х -7 = 0.
х? + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0
(х? + 6х + 9) — 9 – 7 = 0
(х +3)? – 16 = 0.
(х +3)? = 16.
Значит: х +3 = 4 и х + 3 = -4.
х = 1 х =-7.
Ответ: 1; -7.
Слайд №22
Алгоритм решения квадратного уравнения ПО ФОРМУЛЕ КОРНЕЙ:
Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения
и равное D = b?- 4ac.
2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение
— если D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней;

Слайд №23
— если D=0, то данное квадратное уравнение имеет
единственный корень, который
равен           

— если D>0, то данное квадратное уравнение
имеет два корня, которые равны

Слайд №24
Решить уравнение: 2×2- 5x + 2 = 0
Здесь a = 2, b = -5, c = 2.
Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 4?2?2 = 9.
Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.
Найдем их по формуле

то есть x? = 2 и x? = 0,5 — корни заданного уравнения.

Слайд №25
Решить самостоятельно:
x2- 2x + 1 = 0.
2×2- 3x +5= 0.

Проверим
1 уравнение:
получили один корень х = 1, т.к. D = 0

Проверим
2 уравнение:
уравнение не имеет действительных корней, т.к. D < 0

Слайд №26
Работаем в парах:
1) Выберите квадратные уравнения и
определите значения их коэффициентов:
А) 2х? – 8 = 0; Б) -х? + 4х + 1 = 0;
В) 3х? + 2х – 9 = 0; Г) 5х – 3х? +2 = 0;
Д) х – 3 = 0; Е) 3 – 5х? – х = 0;
Ж) х? – х = 0. И) х? + 5 — 2х = 0
2) По коэффициентам указать приведенные
уравнения.
3) Из квадратных уравнений
выбрать неполные и решить их.
Слайд №27
Проверим:
Квадратные уравнения:
А) 2х? – 8 = 0, где а=2; в=0; с=-8
Б) -х? + 4х + 1 = 0, где а=-1; в=4; с=1
Г) 5х – 3х? + 2 = 0, где а=-3; в=5; с=2
Е) 3 – 5х? – х = 0, где а=-5; в=-1; с=3
Ж) х? – х = 0, где а=1; в=-1; с=0
И) х? + 5 — 2х = 0, где а=1; в=-2; с=5
Слайд №28
Проверим:
2) Приведенные квадратные уравнения:
И) х? + 5 — 2х = 0
3) Неполные квадратные уравнения:
А) 2х? – 8 = 0 и Ж) х? – х = 0
Решения: 2х? – 8 = 0 и х? – х = 0
2(х? — 4)=0 х(х-1)=0
2?0; х? — 4 =0 х=0; х-1=0
х? = 4 х=0; х=1
х = ± 2
Слайд №29
Пример решения квадратного уравнения
Дано уравнение:

Решение:

Ответ:

Слайд №30
Самостоятельная работа(по вариантам)
Слайд №31
Проверь решение:
Слайд №32
Проверь решение:
Слайд №33
Запомни: по теореме Виета решаются только приведенные квадратные уравнения
Теорема Виета: Если корни х? и х? приведённого квадратного уравнения х? + px + q = 0 , то х? + х? = — p, а х? · х? = q.
Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = — p, m?n = q, то эти числа являются корнями уравнения х? + px + q = 0.
Обобщённая теорема: Числа х? и х? являются корнями приведённого квадратного уравнения х? + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х? + х? = — p, х? · х? = q.
Следствие: х? + px + q = (х – х?)(х – х?)
Слайд №34
НАПРИМЕР
Дано приведённое квадратное уравнение
x?-7x+10=0
Решение: методом подбора проверим числа
2 и 5. Их произведение равно 10 (т.е. свободному члену уравнения), а их сумма равна 7, (т.е. второму коэффициенту уравнения , но с противоположным знаком )
Значит эти числа и являются корнями данного уравнения.
Ответ: 2 и 5
Слайд №35
Решить :
Решаем вместе:
1) х? — 15х + 14 = 0
2) х? + 3х – 4 = 0
3) х? — 10х – 11 = 0
4) х? + 8х – 9 = 0

Решить
самостоятельно
в парах:
1) х? + 8х + 7 = 0
2) х? — 19х + 18 = 0
3) х? — 9х – 10 = 0
4) х? + 9х + 20 = 0
Слайд №36
Проверим ответы:
1) х? =-1 х? =-7
2) х? = 1 х? = 18
3) х? =-1 х? =10
4) х? =-4 х? =-5

Слайд №37
Решение квадратных уравнений по коэффициентам
Если сумма коэффициентов равна 0, т.е. а + в + с = 0 , то х? = 1 х? = с/а.
2) Если а –в + с = 0, то х? = -1 х? = -с/а.
3) Если а = с, в = а ? + 1, то
х? = –а = — с х? = -1/а = -1 /с.
4) Если а = с , в = — (а? + 1), то
х? = а = с х? = 1/а = 1/с

Слайд №38
Решить самостоятельно по группам:
1) 3х? + 4х + 1 = 0, 2) 5х? — 4х – 9 = 0, 3) 6х? + 37х + 6 = 0,
4) 7х? + 2х – 5 = 0,
5) 13х? — 18х + 5 = 0,
6) 5х? + х – 6 = 0,
7) 7х? — 50х + 7 = 0,
8) 6х? — 37х + 6 = 0,
9) 7х? + 50х + 7 = 0.
Слайд №39
Проверим:
Слайд №40
Проверим:
Слайд №41
Проверим:
Слайд №42
Решим графически уравнение:
Решение:
преобразуем

Пусть у? = х? и у? = 4
Построим эти графики в одной координатной плоскости

Ответ: х = -2; х = 2

Слайд №43
Решить графически уравнения по вариантам:
1 вариант
1) х? + 2х – 3 = 0
2) — х? + 6х – 5 = 0
3) 2х? — 3х + 1 = 0

2 вариант
1) х? — 4х + 3 = 0
2) -х? — 3х + 4 = 0
3) 2х? — 5х + 2 = 0

Слайд №44
Введение новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение
Например: надо решить уравнение (2х+3)? = 3(2х+3) – 2.
Решение: пусть: а = 2х + 3.
Произведем замену переменной: а? = 3а — 2.
Тогда получим уравнение а? — 3а + 2 = 0 и у него D > 0.
Решим квадратное уравнение и получим: а? = 1, а? = 2.
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:
1). если а? = 1, то 2х + 3 = 1 и тогда х? = — 1;
2). если а? = 2, то 2х + 3 = 2 и тогда х? = — 0,5
Ответ: -1; -0,5.
Слайд №45
Решить самостоятельно в парах:
а) (х? — х)? — 14(х? — х) + 24 = 0;
б) (2х — 1)? — (2х — 1)? — 12 = 0
Проверим ответы:
а)
б)
Слайд №46
Разложение квадратного трехчлена
на множители
Слайд №47
Запомнить:
Если квадратное уравнение ax?+bx+c=0
имеет корни х? и х?, то квадратный трехчлен ax?+bx+c, раскладывается на множители следующим образом:
ax?+bx+c= а·(х — х?)(х — х?).
Слайд №48
Разложите квадратный трехчлен на множители:
1 вариант

1) х? — 11х + 24
2) х? + 7х + 12
3) — х? — 8х + 9
4) 3х? + 5х — 2
5) -5х? + 6х — 1
2 вариант

1) х? — 2х — 15
2) х? + 3х — 10
3) — х? + 5х — 6
4) 5х? + 2х — 3
5) -2х? + 9х — 4

Слайд №49
Проверим
1 вариант
1) (х-8)(х-3)
2) (х+3)(х+4)
3) – (х-1)(х+9)
4) 3·(х-1/6)(х+13/6)
5) -5·(х-1)(х- 0,2)

2 вариант
1) (х-5)(х+3)
2) (х-2)(х+5)
3) — (х-2)(х-3)
4) 5·(х+1)(х- 0,6)
5) -2·(х-?)(х-4)
Слайд №50
Рефлексия:
Сегодня на уроке я запомнил…
Сегодня на уроке я научился…
Сегодня на уроке я узнал …
Сегодня на уроке я выучил…
Сегодня на уроке было интересно …
Сегодня на уроке мне понравилось …
Слайд №51
СПАСИБО
ЗА УРОК !!!
Слайд №52
Источники изображений

http://www.avazun.ru/photoframes/&sort=&p=10

http://s59.radikal.ru/i163/0811/73/ad11fb505124.png