НОД и взаимно простые числа


Слайды и текст этой презентации

Слайд №1
Делимость чисел
6 классматематика
Урок №13-15
НОД. Взаимно простые числа

10.05.2012
1
www.konspekturoka.ru

Слайд №2
Цели:
10.05.2012
ввести понятия наибольшего общего делителя;
формировать навык нахождения наибольшего общего делителя;
отрабатывать умение решать задачи на использование НОД чисел;
обобщить имеющиеся у учащихся знания о наибольшем общем делителе натуральных чисел, о взаимно простых числах.

2
www.konspekturoka.ru
Слайд №3
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
3
Изучение нового материала
Решите уравнения, записывая только ответы.
84 : л = 14; л = 6
84 : т = 7; т = 12
84 : е = 21; е = 4
84 : л = 4; л = 21
84 : ь = 3; ь = 28
84 : д = 28; д = 3
84 : е = 6; е = 14
84 : и = 12; и = 7
Расположите ответы в порядке возрастания.
Назовите, какое слово получилось. Дайте определение делителя натурального числа.
Слайд №4
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
4
Делитель – это натуральное число, на которое делится данное натуральное число без остатка.
Слайд №5
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
5
Разложите на простые множители число 875
Назовите наибольший делитель, отличный от самого числа. Как его найти?
875 = 53 ? 7
875 : 5 = 175
Чтобы найти наибольший делитель, надо число разделить на наименьший делитель, отличный от единицы.
Слайд №6
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
6
Разложите на простые множители число 2376
2376 = 23 ? 3? · 11
Назовите наибольший делитель, отличный от самого числа. Как его найти?
Чтобы найти наибольший делитель, надо число разделить на наименьший делитель, отличный от единицы.
2376 : 2 = 1188
Слайд №7
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
7
Разложите на простые множители число 5625
5625 = З2 ? 54
Назовите наибольший делитель, отличный от самого числа. Как его найти?
Чтобы найти наибольший делитель, надо число разделить на наименьший делитель, отличный от единицы.
5625 : 3 = 1875
Слайд №8
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
8
Для каждой пары чисел: 18 и 9; 10 и 7; 15 и 20; 14 и 35; 48 и 36;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
18: 1, 2, 3, 6, 9,18.
9: 1, 3, 9.
10: 1, 10.
7: 1, 7.
15: 1, 3, 5, 15.
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
14: 1, 2, 7, 14.
35: 1, 5, 7, 35.
48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9,12, 18, 36.
Выделите их наибольший общий делитель.
Слайд №9
Этот способ удобен, когда количество делителей, хотя бы у одного из чисел, невелико (способ 1).
10.05.2012
9
www.konspekturoka.ru
Обозначают: НОД (48; 36) = 12
Запишем НОД для чисел
НОД (18; 9) = 9,
НОД (10; 7) = 1,
НОД (15; 20) = 5,
НОД (14; 35) = 7,
НОД (48; 36) = 12.
Слайд №10
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
10
Способ 2.
1. Разложите числа на простые множители.
2. Выпишите общие простые множители.
3. Найдите произведение полученных простых множителей.
НОД(24;60) = 2 ? 2 ? 3 = 12.
24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3; 60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5
Слайд №11
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
11
НОД(50; 175) = ?
50 = 2 ? 5 ? 5; 175 = 5 ? 5 ? 7
НОД(50;175) = 5 ? 5= 25
Слайд №12
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
12
НОД (675; 875) = ?
675 = 3 ? 3 ? 3 · 5 · 5; 875 = 5 · 5 ? 5 ? 7
НОД(675;875) = 5 ? 5= 25
Слайд №13
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
13
НОД (7920; 594) = ?
НОД(7920;594) = 2 ? 3 ? 3 · 11 = 198
7920 = 2 ? 2 ? 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 11
594 = 2 · 3 ? 3 ? 3 · 11
Слайд №14
10.05.2012
14
www.konspekturoka.ru
Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в каждое разложение подчеркнуть общие множители;
3) найти произведение подчеркнутых множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Слайд №15
Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?
Задача.
32 яблока
40 груш
НОД (32; 40) = 8.
Ответ: 8 наборов.
10.05.2012
15
www.konspekturoka.ru
В одной корзине 32 яблока, в другой корзине 40 груш. Какое наибольшее количество одинаковых наборов можно составить, используя эти фрукты.
Найти наибольшее число, на которое делятся числа 32 и 40, то есть найти их наибольший общий делитель.
Слайд №16
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
16
35: 1, 5, 7, 35 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
Для каждой пары чисел: 35 и 88; 25 и 9; 5 и 3; 7 и 8;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
НОД (35; 88) = 1.
НОД (25; 9) = 1;
НОД( 5; 3) = 1;
НОД (7; 8) = 1.
Выделите их наибольший общий делитель.
25: 1, 5, 259: 1, 3, 9
5: 1, 5 3: 1, 3
7: 1, 7 8: 1, 8
Слайд №17
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
17
НОД (35; 88) = 1
НОД (25; 9) = 1
НОД( 5; 3) = 1
НОД (7; 8) = 1
Такие числа называются
взаимно простыми.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель
равен 1.
Слайд №18
Древние греки придумали замечательный способ, позволяющий искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел без разложения на множители. Он носил название «Алгоритма Евклида».
Он заключается в том, что наибольшим общим делителем двух натуральных чисел является последний, отличный от нуля, остаток при последовательном делении чисел.
10.05.2012
18
www.konspekturoka.ru
Историческая минутка.
Положим, требуется найти НОД (455; 312), Тогда
455 : 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 ? 1 + 143
312 : 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 ? 2 + 26
143 : 26 = 5 (ост. 13), 143 =26 ? 5 + 13
26: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 ? 2
Последний делитель или последний, отличный от нуля остаток 13 будет искомым НОД (455; 312) = 13.
Слайд №19
Как узнать, сколько ребят было на елке?
10.05.2012
19
www.konspekturoka.ru
Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?
Найти НОД чисел 123 и 82.
Количество апельсинов и яблок должно делиться на одно и то же наибольшее число.
НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.
123 : 41 = 3 (ап.)
82 : 41 = 2 (ябл.)
Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.
Сколько ребят -?
Сколько яблок — ?
Сколько апельсинов -?
Слайд №20
10.05.2012
www.konspekturoka.ru
20
Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей.
НОД (20; 30) = 10
НОД (8; 24) = 8
НОД (15; 35) = 5
НОД(13; 26) = 13
НОД (8; 9) = 1
НОД (24; 60) = 12
Слайд №21
Задача
Найти НОД чисел 424 и 477.
НОД (424; 477) = 53,
значит, 53 пассажира в
одном автобусе.
424 : 53 = 8 (авт.) — в лес.
477 : 53 = 9 (авт.) — на озеро.
8 + 9 = 17 (авт.)
Ответ: 17 автобусов, 53 пассажира в каждом.
10.05.2012
21
www.konspekturoka.ru
Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477 человек — на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?
Слайд №22
Ответить на вопросы:
Какое число называют общим делителем данных натуральных чисел?
Какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел?
Какие числа называют взаимно простыми?
Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел?
Если числа взаимно простые, то какому числу равен их наибольший общий делитель?
Верно ли: «Если числа простые, то они взаимно простые»? Ответ обоснуйте.

10.05.2012
22
www.konspekturoka.ru