Построение сечений многогранников


Слайды и текст этой презентации

Слайд №1
Тема: « Задачи на построение сечений».
Автор работы: Янаева Ольга Николаевна,
учитель математики МБУ гимназии №35 г.о. Тольятти

Слайд №2
Цели урока
Знать алгоритм решения задач методом «следов» и методом параллельного проецирования;
Уметь решать задачи на построение сечений;
Уметь применять алгоритм при решении задач на построение сечений;
Слайд №3
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
Проверка домашнего задания
Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?
1.
2.
3.
к
N
M
M
Слайд №4
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
к
N
M
M
1.
2.
3.
ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ
За верное решение каждой задачи поставьте 1 балл
Слайд №5
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
4.
N
M
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
N
M
к
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
N
M
к
5.
6.
Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?
Слайд №6
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
4.
N
M
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
N
M
к
5.
E
Q
А
А
1
в
в
1
D
D
1
С
С
1
N
M
к
P
Q
E
F
6.
s
s
s
T
ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ
За верное решение задач №4 и №5 по 2 балла;
За верное решение задачи №6 – 3 балла.
Слайд №7
Номер задачи
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Баллы
1
1
1
2
2
3
Отметка «5» — 10 баллов;
Отметка «4» — 8-9 баллов;
Отметка «3» — 6-7 баллов;
Отметка «2» — менее 6 баллов.
Итоги выполнения домашнего задания
Слайд №8
Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.
Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.
Основные понятия
Рис.1
Рис.2
Слайд №9
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

Рис.3
Слайд №10
Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости).
Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).
Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости.

ПРИМЕЧАНИЕ. Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!

Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.
Метод «следов»

Слайд №11
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости.
A1
ПРИМЕР 1.
Слайд №12
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
Теперь обращаем внимание, что ребро куба В1С1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е.
ПРИМЕР 1.
Слайд №13
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F?D1C1, EK.
F
ПРИМЕР 1.
Слайд №14
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
Далее видим, что ребро куба А1В1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G.
G
ПРИМЕР 1.
Слайд №15
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
G
Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»!
Причем, GM?АА1=Н.
H
ПРИМЕР 1.
Слайд №16
A
B
C
D
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
G
H
Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба.
Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.
B1
ПРИМЕР 1.
Слайд №17
Плоскость сечения может задаваться:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) прямой и точкой, не лежащей на ней;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.
Слайд №18
Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».
ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций.
Слайд №19
Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны.
Слайд №20
Пятиугольное сечение
Построение:
MN
NK
MP ||NK
KH ||MN
PH
MNKHP- искомое сечение

A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H

Слайд №21
Шестиугольное сечение
Построение:
MN, NK
MN?AD=X
XY ||NK
XY?AB=P
XY?BC=Q
MP,PQ
QH ||MN
KH
MNKHQP- искомое сечение

A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H
X
Y
Q

Слайд №22
Какие из данных сечений верны, а какие нет и почему? Ответ обоснуйте.
Слайд №23
Какие из данных сечений верны, а какие нет и почему? Ответ обоснуйте.
Слайд №24
A
B
D
C
A1
C1
D1
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
B1
Ученик нарисовал сечения куба плоскостью. Есть ли ошибки на рисунках?
Слайд №25
Спасибо за урок!