Слайд №2 |
 |
Цели урока Знать алгоритм решения задач методом «следов» и методом параллельного проецирования;
Уметь решать задачи на построение сечений;
Уметь применять алгоритм при решении задач на построение сечений; |
Слайд №3 |
 |
А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 Проверка домашнего задания Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки? 1. 2. 3. к N M M |
Слайд №4 |
 |
А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 к N M M 1. 2. 3. ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ За верное решение каждой задачи поставьте 1 балл |
Слайд №5 |
 |
А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 4. N M А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 N M к А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 N M к 5. 6. Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки? |
Слайд №6 |
 |
А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 4. N M А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 N M к 5. E Q А А 1 в в 1 D D 1 С С 1 N M к P Q E F 6. s s s T ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ За верное решение задач №4 и №5 по 2 балла;
За верное решение задачи №6 – 3 балла. |
Слайд №7 |
 |
Номер задачи
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Баллы
1
1
1
2
2
3 Отметка «5» — 10 баллов;
Отметка «4» — 8-9 баллов;
Отметка «3» — 6-7 баллов;
Отметка «2» — менее 6 баллов. Итоги выполнения домашнего задания |
Слайд №8 |
 |
Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.
Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Основные понятия Рис.1 Рис.2 |
Слайд №9 |
 |
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.
Рис.3 |
Слайд №10 |
 |
Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости).
Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).
Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости.
ПРИМЕЧАНИЕ. Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!
Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K. Метод «следов» |
Слайд №11 |
 |
A B C D B1 C1 D1 M N K Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. A1 ПРИМЕР 1. |
Слайд №12 |
 |
A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E Теперь обращаем внимание, что ребро куба В1С1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. ПРИМЕР 1. |
Слайд №13 |
 |
A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F?D1C1, EK. F ПРИМЕР 1. |
Слайд №14 |
 |
A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E F Далее видим, что ребро куба А1В1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G ПРИМЕР 1. |
Слайд №15 |
 |
A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E F G Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»!
Причем, GM?АА1=Н. H ПРИМЕР 1. |
Слайд №16 |
 |
A B C D C1 D1 M N K A1 E F G H Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба. B1 ПРИМЕР 1. |
Слайд №17 |
 |
Плоскость сечения может задаваться:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) прямой и точкой, не лежащей на ней;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки. |
Слайд №18 |
 |
Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».
ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций. |
Слайд №19 |
 |
Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны. |
Слайд №20 |
 |
Пятиугольное сечение Построение:
MN
NK
MP ||NK
KH ||MN
PH
MNKHP- искомое сечение
A B D C A1 B1 C1 D1 N K M P H |
Слайд №21 |
 |
Шестиугольное сечение Построение:
MN, NK
MN?AD=X
XY ||NK
XY?AB=P
XY?BC=Q
MP,PQ
QH ||MN
KH
MNKHQP- искомое сечение
A B D C A1 B1 C1 D1 N K M P H X Y Q |
Слайд №22 |
 |
Какие из данных сечений верны, а какие нет и почему? Ответ обоснуйте. |
Слайд №23 |
 |
Какие из данных сечений верны, а какие нет и почему? Ответ обоснуйте. |
Слайд №24 |
 |
A B D C A1 C1 D1 A B C D A1 D1 C1 B1 B1 Ученик нарисовал сечения куба плоскостью. Есть ли ошибки на рисунках? |
Слайд №25 |
 |
Спасибо за урок! |