Графическое решение квадратных уравнений

Графическоерешение

квадратных

уравнений

Алгебра 8 класс

Немного историиЕще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский,
Аль- Хорезми

.

Евклид Омар Хайям

Решали уравнения
геометрическими и
графическими способами

Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:
ax2 + bx +c = 0

ax2 = -bx – c
ax2 + c = — bx
a(x + b/2a)2 = ( 4ac — b2 )/4a

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0

Алгоритм графического решения квадратных уравненийВвести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части
Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости
Отметить точки пересечения графиков
Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ

Способы графического решения квадратного уравненияах² + bх + с = 0

Способ поcтрое-
ния параболы y=ах² +bx+c

Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx+c и параболы у = ах²

Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx и параболы у = ах²+с

Способ выделе-ния полного квадрата

I

II

III

(a)

(b)

Способ поcтрое-
ния прямой
у= с и параболы у = ах²+ bx

(в)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Графическое решение квадратного уравненияИллюстрация на одном примере

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 1
Построить график функции y=ax2+bx+c
Найти точки пересечения графика с осью абсцисс

Решить уравнение1 способ

Построим график функции у =

График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
Вершина ( )

=-

Х ο = 1

(1; -4)-вершина

3. Ось параболы

4. Дополнительные точки:

х

у

1

-4

0

-1

2

3

0

-3

-3

0

Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.
Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.

-1

1

-1

3

х

3

о

у

Алгоритм построения параболынайти координаты вершины; провести ось параболы;
отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;
провести параболу через полученные точки.

Примеры графического решения квадратных уравненийПусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
а = 1>0, ветви вверх
Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 .
y ο = 1² — 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1
Построить по таблице график y=x2 -2x -3

x

0

2

-1

3

y

-3

-3

0

0

3

-1

Решение уравнения x2-2x –3=0

Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ

у=x2 – 2x -3

Графический способ решения квадратных уравненийПарабола и
прямая
касаются

Парабола и прямая
пересекаются

Квадратное уравнение имеет два равных корня

Квадратное уравнение не имеет корней

Квадратное уравнение имеет два различных корня

Парабола и прямая не
пересекаются и не касаются

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(а)
Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 = 2x +3Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 иy= 2x + 3

3

-1

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

2 способПреобразуем уравнение

к виду

Построим в одной системе координат графики функций

-это парабола

-это прямая

х

у

0

1

3

5

3

-1

3

Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3

Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3

4 x2 – 4x + 1 =0
Представим в виде 4×2 = 4x -11). Построим графики функций:
у = 4 x2 , у = 4x — 1

2). Строим параболу у = 4 x2
а = 4, ветви вверх
хο = — ; хο= 0; ; уο= 0.

По шаблону строим параболу
3). Строим прямую у = 4x — 1

x

0

1

y

-1

3

-1

0

1

3

1

0,5

Корнем уравнения является
абсцисса точки пересечения: 0,5

-1

-1

у

х

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2 (b)
Преобразовать уравнение к виду
ax2+с = bx
Построить:
параболу y = ax2+с и прямую y = bx
Найти абсциссы точек пересечения
графиков функции.

x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 –3 = 2xПусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 –3 и y =2x

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=x2 –3

y =2x

x2 – 4x + 5 =0
Представим в виде x2 +5 = 4xПусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 +5 и y =4x

Точек пересечения параболы с прямой нет
Ответ: корней нет

y=x2 +5

y =4x

y

x

о

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(в)
Построить графики функции
y=ax2 + bx и у = с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.

x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 – 2x = 3Пусть f(x)= х² — 2х и g(x)=3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= х² — 2х и y=3

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=3

y= х² — 2х

y

х

о

2

-1

3

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 3
(выделение полного квадрата)
Преобразовать уравнение к виду
a(x+l)2 = m
Построить:
параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.

Выделение квадрата двучлена.x2 – 2x + 1 = 3 + 1

( x –1)2=4.

x2 – 2x = 3

( x –1)2 — 4 = 0

( x –1)2 — 2² = 0

( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0

( x –3 ) ( x + 1 ) = 0

x –3 = 0

x + 1 = 0

x = 3

x = — 1

x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде (x –1)2=4Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= (x –1)2 и y=4

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=4

y= (x –1)2

Решите графически уравнениеГруппа А

Бычев Андрей
Ерофеева Ксения
Каминская Света
Лобов Егор
Лукьяненко Вероника
Осипов Павел
Циорба Влад

Группа С

Григорьева Катя
Соловьев Илья

Группа В

Баличев Илья
Помигуев Павел
Фролов Саша

х² + 2х – 8= 0

4х² — 8х + 3= 0

3х² + 2х – 1= 0

Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?

Решить графически уравнение

Как решить уравнение?Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.
Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

Решить графически уравнение

Построить график функции

Построить график функции

Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

Построить график функцииКорни уравнения:
точки пересечения
параболы с осью ОХ

Решить графически уравнениеКорни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой

Решить графически уравнениеКорни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой

ИтогПознакомились:
с графическим методом решения квадратных уравнений;
с различными способами графического решения квадратных уравнений.
закрепили знания по построению графиков различных функций.

Заключительное слово учителя:«Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»

Желаю удачи !